第15章 什么决定了长期的经济增长？
我们现在来学习长期经济增长的理论。再回忆一下宏观经济学的研究框架，我们一直在做的工作是试图用一根主线串起宏观经济学的所有内容。这一根主线是均衡的国民收入是如何决定的。怎么串起来的呢？我们从考察总供给曲线的形状开始。本书开始的时候，我们假设总供给曲线是水平的。这种情况下，我们只需要研究总需求曲线就可以了。通过分析，得到了一条向下倾斜的总需求曲线。
在第二个层次，放松关于总供给曲线是水平的假设。我们推导了一条向上倾斜的总供给曲线。在研究这条曲线的时候，我们发现了宏观经济学的其他重要问题，诸如通货膨胀和失业。
我们现在研究的长期经济增长又是怎么加进来的呢？在长期，按照古典主义的说法，经济的产出将主要由总供给决定。因此，我们可以这样理解，假设总需求曲线是水平的，从而研究总供给曲线。就像我们起初把总供给曲线看作是水平的而研究总需求曲线一样。从这个角度可以看出宏观经济学严密的研究框架和开阔的研究思路。
总供给的长期变动导致国民收入的增长，我们称为长期经济增长。还记得我们前面所说的经济学的基本原理吧，在长期中，一个国家的生活水平由这个国家的人民生产产品和服务的能力决定。这也就说明，在长期，均衡的国民收入主要由总供给决定。对于长期的经济增长理论，我们还是从一些基本的问题开始，其实我们最关心的一直也是这些问题。正如经济学家巴罗所言“今天，经济学的中心是宏观经济学，经济学家们已经逐渐认识到，长期的经济增长是重要的，也许比短期的经济波动还要重要。”
我也坦率地承认，我对宏观经济学的最大兴趣也是在于经济增长。记得当年刚刚读曼昆的《经济学原理》的时候，我就兴奋地立志要成为一名优秀的“宏观经济学家”（也许用宏观经济学者或者宏观经济学人更好，但是当年确实是那样立志的。也有激励自己的意思在里面。当然，我现在是深切地感受到了要想成为一名经济学家其实并不容易，那需要很多禀赋的罕见结合），并且在书的扉页上记下自己未来的研究方向，那就是长期经济增长理论。
后来我发现，我的这种兴奋其实很多人都有，经济学家卢卡斯说，“一旦你思考经济增长的问题，你就不能再思考别的问题了。”我想其话外音是说，经济增长不仅提供了足够学者们一生思考的课题，而且是个让这些学者们兴奋并乐此不疲的领域。
在这里，我们只讲一个关于经济增长的模型，索洛模型。为什么只是讲这么一个模型？既有功利的原因也有实在的原因。功利的原因就是，在中级水平的宏观经济学里，关于经济增长的问题，主要内容就是索洛关于经济增长的理论。因为我也是宏观经济学的学生，尤其在经济增长方面，我更是个小学生，因此我不敢在这本笔记里探讨过多的关于这个领域的问题，因为驾驭起来实在费劲。
非功利的原因在于，索洛关于经济增长的理论给所有研究这个问题后来者们提供了一个基本架构。索罗对经济增长的洞见对后续研究这个问题的学者都有启发作用。可以说，索洛做了一项奠基性的工作。因此，理解这个奠基性的工作对我们认识经济增长十分重要。
在开始这个模型之前，有必要说一下我们将要做的工作。我们这里主要是采取一种方式，把索洛模型的问题全部都联系起来。我们将会尽力说明在每一个步骤要干什么，是怎么干的。主要的工具是数学工具，确实需要一点微积分的知识。但是，这里面所有的技术问题都十分简单，只要你可以求分数的导数就可以理解索洛模型，如果不能理解，那不是索洛模型本身的问题，而是讲授者的问题。我们一直坚信，在学习中最重要的是要知道我们要干什么，是怎么干的。在解决这些问题的时候，我们就要猜测索罗的思维痕迹，虽然某些猜测可能并不是索罗的本意，但是却可以使我们更好地理解整个模型内容。
现在就开始来思考这个关于经济增长的理论。即使我们不是经济学家，我们也会思考下面这样的问题：为什么有的国家贫穷，有的国家富裕？是什么决定了经济增长？如果我们能够很好地认识这些问题背后的原因，我们就有可能操纵这些因素从而来影响经济增长。在我们的假设下，也就是总需求曲线是水平的情况下，更高的国民产出就代表了更高的均衡的国民收入，就代表了更高的生活水平。所以我们关心的问题就集中在是什么决定了经济增长。
索洛模型自然是要回答这个基本的问题。他是怎么思考的？或者在做出他的理论之前，他有什么理论可以利用呢？我们知道总供给和生产函数是不能分开的。这个生产函数是我们的共同知识。生产函数是说，只要投入生产要素就会有产出。只要投入要素改变了，那么产出就改变了。这种产出的改变不就引起经济增长了吗？！所以，只要知道了投入要素的变化情况，就可以通过生产函数知道产出的变化情况，也就是经济增长的情况；如果投入要素不变化了，处于一种稳定状态，经济也就处于一种稳定的情况。那么在这种经济处于稳定的状态的时候，需要的投入要素是多少呢？是不是处于这种稳定状态的时候，经济就会不增长了呢？索洛的理论的思想也就是从这些问题而来，而且随着其理论的建立，他回答了很多关于这个问题的提问。
虽然有了这些思想，但是如何用技术操作这些思想就是一个困难的问题了。第一个难题在于，因为生产函数的形式并不确定，虽然我们相信只要有投入就会有产出，那么投入要素和产出要遵循怎样的一个关系呢？这是第一个问题。索洛在解决这个问题的时候做出了关于生产函数的假设，他假设生产函数的形式是：
，其中
表示资本，
表示劳动力，
代表知识。这个生产函数表示的产出和投入要素的关系用规模报酬不变来形容。也就是要素投入增加一倍，产出也增加一倍。
用数学来表示就是：
，其中，
。在这个生产函数里，我们还有些疑问，比如为什么把代表知识的和代表劳动力的相乘。
被称作为有效劳动力。事实上，对于这个和的可乘性和乘积的意义，学者们几乎不能给出什么很好的解释。这个A可以乘在很多地方，我们这里不详细考虑这个问题，关于是希克斯中性还是资本增进的，我们没有什么必要加以详细地追问[1]。
索洛的第二个问题还是和生产函数有关，因为只要投入要素就会有产出，并且投入要素发生变化，产出就会发生变化。那么，我们选择哪个要素进行操作呢？两个要素同时操作肯定有困难。于是索洛采取了操作资本这个要素（给我们的含义是，我们是否可以操作劳动要素来进行模型的扩展？）。怎么操作呢？根据对生产函数及其性质的假设，我们可以得到：
，这一步相当于把
换成
，根据规模报酬不变的假设，我们就能够得到这种形式。我们将这个生产函数的形式改写为：
，其中
，
。到此为止，我们只是把生产函数的形式进行了一下变换，变成了人均生产函数的形式，
叫做人均资本存量，
叫做人均产出。这个人均生产函数还有以下性质：
，人均资本的边际产出为正，
，，人均资本的边际产出递减。这些性质我们在微观经济学中都是相当熟悉的。同时还要满足Inada条件，也就是：
，
。这个条件实际上就是边际产出递减的性质。我们可以这样直观地理解，当资本非常少的时候
，资本的边际产出非常大，当资本很多的时候
，那么资本的边际产出很小，几乎为零。这个条件只是为了保证我们联立方程的时候有解。我们后面会看到它的应用。
当把生产函数变化成这个样子之后，我们发现，人均资本存量有了意义。只要人均资本存量发生变化，那么人均产出就会有变化。于是我们就可以观察到经济增长的现象。这就是索罗模型的第一个假设条件。这个假设主要是在生产函数上做出的。
索洛的第二个假设条件是关于其他的投入要素的。劳动和知识。因为他要操作的要素不是这两个，那么他把它们都假设为外生。也就是说随着时间的变化，他们各自有一个增长率。事实上，我们研究经济增长的问题，都是和时间关联在一起的。生产函数实际上应该写成
，但是这并不影响我们的分析。假设劳动的增长率为n，记为：
，我们这里
相当于是对时间求导
，就是指人口随时间的变化量。其中n是外生的。因为人口要随着时间增长。我们这里的假设是说，人口的增长遵循它自己的法则，不和收入有什么关系。根据，我们就可以得到人口随时间变化的函数。我们将两边同时积分得到：
，解这个方程得到：
，于是解得：
，令
，我们就得到人口的函数为：
。
我们假设知识的增长率为g，
，依据上面的思路得到：
。
这是索洛模型的第二个假设。这第二个假设是想说明这个理论不操作的变量是在模型中是怎样一种情况。
第三个假设相对来说有点简单，
。这是说，人们的收入除了消费就是储蓄。在这个模型中，只要是不被用于消费的收入都转化为投资。
这三个假设是构建索洛模型的基础。索洛模型对经济增长的洞见就是从这三个假设开始的。这里，我们最需要学习的是，如何把所要研究的问题突出出来，从而做出相应的假设。可以坦率的说，对于索洛模型的更改，大家最好就是从这三个假设入手，看看这些假设中哪些有可能做些更改。只有对假设的关注，才是可能的理论创新的机会。我们后面在评论这个模型时再来说这个问题。现在最需要解决的是看索洛如何从这几个假设建立起了漂亮的理论。这是我们需要学习的地方。
因为索洛这里要考虑的因素是人均资本存量，只要这个东西变动，那么经济的产出就要变动。如何来考虑这个因素的变化呢？下面的思想是索洛模型的关键：
经济中的资本存量如何变化？一方面我们要不停地进行资本存量的投资，如果没有一种约束机制，这种资本存量会一直增加。有没有一种约束机制呢？有的。因为经济中的资本要发生折旧，也就是要按照一定的比率进行折旧，这个比率叫做折旧率，我们用
来表示。这就好像存量的大小取决于净流量一样。考虑了折旧以后，经济中的资本存量的变化就可以表示如下：
，因为我们假设经济中的储蓄全部用来投资，且储蓄率为s，所以经济中的投资量为：
。这样把它代入到上面的方程中得到：
。我们将其写成资本随时间的变化量：
。经济中的资本存量有这个特点，因为我们要集中考虑人均资本存量的变化，也就是考虑的变化。接下来的工作就很好做了，我们只需要按照数学规则来进行推演就可以了。记得我们对数学应用于经济学的看法中，我们认为其好处之一就是可以用数学规则来操作符号，然后再琢磨符号背后的经济含义。我们下面就这样做：
，因为我们认为这里的要素都是时间的函数，因此对时间求导，我们就可以得到：
，这一步没有任何困难，只是一个分数求导的问题。我们将其展开，变形得到：
，很简单的变化，这里我们要求出
，这相当于对乘积求导，我们可以得到：
，进一步整理得到：
，这样我们就可以利用前面的假设条件：、，和
，代入得到：
，这里面还有一个就是
没有求出来，但是在上面我们正好有一个式子，，我们将其代入得到：
，因为，
，我们把其带入并且变形为：
，这个式子十分重要，事实上，这就是索洛模型了。我们发现人均资本的变化取决于很多因素，比如储蓄率，折旧率，人口和知识的增长率。并且人均资本会随着这些因素的变化而变化。我们知道只要人均资本存量变化，那么经济的产出就会发生变化，就会发生经济增长的现象。那么什么时候资本存量不再变化了呢？那就是当人均资本存量不再变化了，这样经济就会达到一种稳定状态。这种稳定状态的条件是：
，于是我们就可以得到：
，整理得：
。因为n，g，，s都是我们给定的，也就是已知的，那么从这个式子就可以解出一个资本量，这个资本量叫做稳态的资本存量水平。我们用
表示。这个稳态的资本存量水平是一些因素的函数：
。假如给出了生产函数的形式，我们就可以解出这个稳态的资本存量水平。
我们这里演练一下：我们假设生产函数的形式是柯布—道格拉斯生产函数：
，我们可以验证，这个生产函数满足我们的所有要求，比如规模报酬不变，（
）比如inada条件，这些都是满足的，因此这个函数正好可以当作索洛模型的生产函数。我们对其加以变化为人均资本产出的形式：
，变化为：
。把这个形式代入索洛模型中，我们有：
，我们可以很容易地解出：
。这个结果和我们预测的结果没有任何差别。只是这里面我们采取了明确的生产函数的形式。这就是稳态时候的资本存量。
我们之所以关心这个稳态时候的资本存量，是因为，我们知道，只要这个量发生变化，就相当于投入发生了变化，经济中的产出自然要发生变化。只要这个量不发生变化，那么经济的产出就不会发生变化。从这个角度上来说，经济增长的因素我们就可以看得很清楚了，主要取决于经济中的人均资本存量，并且这个量取决于几个因素：n，g，，s。所以索洛模型就回答了是什么决定了经济增长的问题。
但是我们给出这个结论是不完整的，因为我们只考虑了生产函数的一个因素，人均资本存量，生产函数的另外因素肯定也会对经济增长产生影响。比如劳动和知识。我们直观上也可以推断出这两个因素和经济增长有关系，因为人均资本存量是这样得到的：，所以人口和知识肯定影响k的变化。正如我们在稳态时候的资本存量那里看到的，人口增长率和知识的增长率是稳态人均资本存量的影响因素。我们现在要看的是，在经济达到稳态的时候，经济中的资本存量如何变化？经济的产出如何变化？
我们这里还是用一点简单的数学来进行描述：
在经济处于稳态的时候，我们有经济中的资本存量为：
，因为我们关心的是增长率，所以把这个式子的两边同时除以K得：
。因为我们已经解出了人均产出和人均资本在经济稳态时的关系，这里我们用上这个条件，把上式变为：
。整理得到：
。因为在经济处于稳态的时候我们有，所以，
，这时，
。
我们得到，在经济处于稳态的时候，因为劳动和知识的增加，经济中的资本存量是以
的速度在增长。为什么呢？就是因为我们采用了人均资本，这个时候，经济中劳动力和知识的增加相当于“资本的折旧”，这样，随着折旧率的上升，资本存量就要以这个速度上升。当然这背后的机制是要我们好好琢磨的。
因为经济中的资本存量即使在人均资本的稳定状态时也会增加，这是否意味着即使是人均资本处于稳定状态的资本水平时，经济仍然会有经济增长？我们可以直观地得到答案，会的。就是因为劳动力和知识在增长。但是我们要采取一种比较严谨的方式来说明，我们还是求助于用一点数学。
现在我们的问题就变成了：人均资本处于一种稳定状态时，经济的增长率
是多少？
因为，所以我们有：
，我们就把这个式子按照分数求导的法则求出来得到：
，将其变形为：
，利用我们的假设条件：、，进而将这个式子进行整理得到：
。
在人均资本的稳态水平时，我们可以证明： 
。因为：
，所以
。在稳态的时候，
，所以，。于是我们得到：
，
移项整理得到：
，
把乘过来，得到：
，
再把
移项得到：
。
这样，就回答了我们的问题：当人均资本处于一种稳态的时候，经济还是增长的。增长的速度是。所以，这个理论背后的东西就是假如我们能知道劳动力的增长率，知识的增长率，那么在人均资本处于稳态的时候，我们就能知道经济中资本存量的增长率，也能知道经济的增长率。
到这里为止，索洛解决了很多问题，通过简化思考生产函数的要素，比如考虑人均资本，索洛得到了经济增长的决定因素，那就是人均资本会决定经济增长。但是这种人均资本会最终达到一种稳定水平，这个时候经济的增长因素就是其余的要素导致的，比如劳动力和知识。经济最终会在这种人均资本稳定的状态下，以一定的比率增长。这是到现在为止，索洛模型的含义。
我们现在问的问题是，既然人均资本存量那么重要，我们有没有什么办法使得人均资本存量增加？这就是理论背后的政策含义。肯定是有办法的，比如，我们知道稳态时候的资本存量的决定是：
，
从而解得：。
这不就是说，我们只要改变这些决定因素就可以改变人均资本存量吗？！并且通过生产函数改变经济产出。比如我们可以增加储蓄率，以提高人均资本存量的水平，这肯定会提高人均资本存量的水平，一种证明方式是我们前面用柯布—道格拉斯的生产函数求出的稳态时的人均资本存量水平：
，
如果s增加，就会增加。我们现在来采用另一种方法来证明这种提高储蓄率的方式会改变经济产出。
最简单的数学方式就是产出对储蓄率求偏导数
，如果这个偏导数大于零，那么就说明储蓄率的上升能够增加经济产出。我们这里还是采取人均产出的形式。我们有：
，
我们只要能说明这个数大于零就可以了。因为
，我们只需要判断
的符号。怎么办呢？因为在人均资本的稳定状态下，我们有：
，
变形为：
，
我们将这个式子对
求导数，得到：
，
整理这个式子得到：
，
我们把这个式子带回到：
，
得到：
，
这个数其实并不好判断符号，于是索洛采取另一种方式，这就是索洛的智慧了，在这个符号不好判断的时候，他采取了产出的储蓄弹性的形式。我一直说，那些伟大的经济学家在创立模型解释世事的时候，和伟大的艺术家在创作艺术作品并没有什么本质上的区别。索洛模型与其说是知识，还不如说是艺术。索洛将这个问题这样变形为：
，
方程的左边就是产出的储蓄弹性，只要能说明这个数大于零，我们就可以说明储蓄率对产出的关系。现在就来变形方程的右边。因为：
，我们将其代入，得到：
，
这里没有任何困难之处，只是一种简单的数学代入。我们再将其变形，因为
，同时把
移到分母得到：
，
我们再把
拿到分子上，把
代入：
，
这样我们正好可以发现，
也是一个弹性的概念，叫做资本的产出弹性。我们将其记为
。于是上式变为：
。这时，这个式子的符号就好判断了。因为资本的产出弹性是在0和1之间的。
，我们就得到：
，于是解决了我们的问题。
但是这里的一个小问题是如何说明？这是一个微观经济学的命题，叫规模报酬不变的生产函数的分配定理。什么意思呢？就是说有两个要素对产出都做出了贡献，那么在分配报酬的时候，两个要素都要有一定的所得。
举个例子，就是假如我们每个人都为国家的繁荣做出了贡献，那么在论功行赏的时候，我们每个人都应该有份，叫做“共和国的旗帜上有你的风采，也有我的风采”。那么我们每个人得到的份额，必然是大于0小于1的。这个要素分配定理就是这个意思了。我们这里简单的证明一下，以帮助大家回忆一下微观经济学的知识：
一次齐次生产函数的含义就是：
，其中
。这也是我们规模不变的生产函数。我们对c求导：
，其中
表示为对第一个要素求偏导数。
因为c是任意的数，我们让其为1，得到：
，两边同时除以
得：
，其中，
，
，得到：
。这样我们就知道了上面的资本的产出弹性为什么在0和1之间。
上面解决的问题是，当改变储蓄率的时候，经济的产出是可以改变的。也就是说，我们可以采取政策来改变经济产出。这是索洛模型的一个含义。当然我们改变其他因素同样也可以改变经济产出，这里我们就不演练了。我们继续往下问问题。
到目前为止，索洛模型是说，如果想要使得经济有最大的产出，那么我们的政策可以指向使得我们有最高的储蓄率，百分之百的储蓄率会有最高的经济的产出。但是，百分之百的储蓄率好不好呢？肯定不好，我们活着的意义不是为了生产而活着，我们要消费满足我们的需要。所以，必须从经济福利的角度来考虑我们的最优的储蓄率是多少。
如何来定义经济福利呢？我们假设，消费的最大化是我们最高的经济福利。消费的最大化必然是有条件的，因为，我们消费掉的就不能用来进行资本的投资，就丧失了增加产出的机会。所以，我们消费的实际上是我们的产出能力。如何在这之间达到一种最优状态呢？就是我们如何来选择一种最优的储蓄率？储蓄背后就是投资，我们如何选择一种人均的资本水平，从而使得我们的消费最大呢？我们必须保证，这种资本水平是在人均资本稳态的前提下的，我们马上就会看到，只有在这种前提下，我们的消费才是理性的。我们可以把问题简单的写成一个数学规划，其一阶条件是：
。消费如何表示呢？因为我们前面有第三个假设条件：
，所以消费量就可以写成：，注意这里面的
和
是消费量和储蓄量，我们的储蓄量应该是，储蓄率乘以收入，我们将消费量这样表示：
，在人均资本的稳态水平我们有：，于是得到：
，
是在稳态时候的消费量，这时候依据我们的一阶条件，我们有：
，根据，得到：
，变形为：
。这就是在经济的稳态路径上消费最大化的条件。我们从这里也可以解出一个人均的资本水平，这个资本水平是在稳态的前提下使得消费最大化的人均资本水平，我们叫做黄金规则的人均资本水平。记为：
。我们可以用生产函数的形式来解这个黄金规则的人均资本水平。比如上面的例子，柯布—道格拉斯的生产函数：我们可以解得：
，进而解得：
，当时，得到：
，我们可以解得：
，这是消费最大时候的最优储蓄率，带回到，得到：
。
为什么说在时，消费是理性的呢？我们可以这样来理解这个条件，左边是资本的边际产出，右边看作是资本的边际成本，当资本的边际产出大于边际成本时候，这个时候显然应该是增加储蓄以增加投资。也就是当经济中的资本存量小于黄金规则的时候，我们就应该增加资本存量以增加未来消费能力。反之，我们就减少投资量。这就回答了我们上面的问题。
我在学习索洛模型的时候，常常惊叹，作者的思维给了我莫大的惊喜。于是我就像临摹大师的作品一样，每次临摹，每次都有新的体会，我希望读者们也会。回忆一下索洛模型，他要说的是，经济增长的决定因素是什么？通过考虑人均资本存量，发现经济增长决定于人均资本存量。只要人均资本存量发生变动，就能观察到经济增长或者衰退的情况。通过模型考察，我们发现有很多因素影响人均资本存量，那么我们就可以试图改变这些因素来改变经济的增长情况。
但是，人均资本存量总有一天会稳定在一个水平，就是稳态的人均资本存量水平，那个时候经济怎么变化呢？是不是经济就不会增长了呢？也不是，我们发现，当资本不能影响经济增长的时候，还有劳动力和知识会影响经济的增长，这样，实际上我们就考虑到了所有影响经济增长的因素。当然肯定也只是部分因素，我们对人类认识能力的局限还是要有所警醒的。
索洛模型的最后一个问题是，只要经济中的人均资本存量不是在稳定状态的水平，那么人均资本就要往稳态时候的人均资本水平移动。这种移动的动力就是我们前面所说的一种类似于物理模型的动力，也是由我们前面假设的那些生产函数的性质保证的。这就是为什么要做那么多关于生产函数性质的假设。现在的问题是，这种由非稳态的人均资本存量到稳态时候的人均资本存量的移动速度有多快？
回答这个问题，我们也需要一点微积分的知识。如何来解决这个问题？我们知道，根据我们前面的研究，，这个式子说明
是的函数。我们表示为：
，在的时候，我们知道有：
。但是我们用什么数学工具来表示收敛的速度呢？这是一个特别重要的问题，看过教材的人就会说，用泰勒级数展开。
那我的问题是：为什么要用泰勒级数展开呢？我追问这样的问题，就是在追问作者的思维痕迹。如果我们不知道大师们怎么想问题，那么我们就永远也别指望像他们那样思考。
因为，我们现在要解决的问题是速度的问题，那么数学中什么和速度有关联呢？我们知道导数和速度是有关联的。事实上，我们对导数概念的引入的例子之一就是瞬时速度的概念。物体做变速运动的时候，速度是随时间而定的。这时我们就用极限的形式求出瞬时速度其实就是导数的概念。我们只要知道瞬时速度，再知道我们要走的路程，那么时间就知道了。
把资本变化路径和导数联系起来的数学工具就是泰勒级数了。这就是我们这里为什么要用泰勒级数来求这个收敛速度的原因。关于泰勒级数大家回去看一下书，其实很简单。我们这里简单地介绍一下泰勒级数，以方便学过泰勒级数的人回忆学过的知识。
泰勒级数要干什么？学习泰勒级数有什么用？学习泰勒级数很有用。它是用来计算函数值的。计算诸如
的函数值，比如
，那么
是多少啊？我们可以近似地计算出这个的值。这就是泰勒级数的一个含义。当然也可能有更多的含义。
在微积分中，微分的一个应用是计算近似值。所以泰勒级数的思想就是从这里出来的。利用微分的思想来计算近似值？怎么办到的呢？根据微分的定义，我们有：
，因为：
，所以上式可以改写为：
，令
得到：
，变形得：
。我们可以发现，
可以写成一系列和式。如果要求精度高些，我们就可以写成：
。这里的关键是，如何确定a、b、c呢？我们可以很容易地计算出来：
、
、
，代入得到：
，这就是一个简单版本的泰勒公式。因为
任意，我们可以把它设置为0，于是我们得到：
，这是简单版本的马克劳林公式。我们现在来计算，利用马克劳林公式展开得到：
。因为
的任意阶导数都是它本身，把0代入，都是1。于是我们得到：
。这就是我们得到的近似值。当然我们利用更精确的泰勒公式可以得到更加精确的值。
有了上面的工具，我们现在可以进行研究了。因为要研究收敛速度，所以把在处展开，我们这里用的更简单，只进行一阶展开，我们得到：
，我们把
设置为
，得到：
。我们可以看出，在稳定状态的路径上，人均资本的变化速度和实际资本水平与稳态时候的资本水平之间的距离成比例，如果我们知道这个比例就好了。现在的关键在于计算
为多少。在均衡路径时候有：
，对k求导数得到：
，把
代入整理得到：
，利用资本的产出弹性进行变换得到：
，把负号移进括号里变形为：
。所以，人均资本向其稳态状态水平收敛的速度是，因为我们假设生产函数的规模报酬不变，我们可以证明，人均收入也以这个速度收敛到稳态时的人均收入水平。
只要我们能够知道这个是多少，我们就可以知道，大约要用多少时间使得人均资本存量或者国民收入翻一番。使用的技巧是一个叫做“70法则”的古老的拇指规则。只要用70除以增长的百分比，就可以得出翻一番要多少时间。比如，我们假设是4%，那么我们就能够知道，翻一番需要
年。
这样，我们就结束了索洛的经济增长理论的学习。可以看出，只要会求导数，我们就可以理解这个经济增长理论，技术问题一点都不复杂，这再一次证明，经济学最关键的问题是要有思想，有想法，再利用恰当的技术去分析，才会做出好的成就。这二者缺一不可。当然这仅仅是理论的思考框架，或说，我们逻辑思维的结果。但是，这个理论在现实中是否正确还需要进一步的统计检验。事实上，我们这本笔记讲的都是逻辑思维，并没有涉及实证检验。从科学的角度来看，这是很不严谨的。每一个用来解释世事的理论，不管其具有多深的洞察力，都要经受经验检验。这是为什么我们在前面说，计量经济学很重要。这个工具是我们借以进入科学殿堂的工具之一。
任何一个想要在经济学上有所成就的学生，这个科目都必学不可。这也给我们以启示，那就是我们可以利用这里讲述的思想，利用收集到的现实数据进行检验，看看是否满足理论的说法。不满足，我们问原因是什么？！这样就可以把问题摊开了。事实上，这也是经济学的本土化的思路之一。
在研究经济学的规范化这个问题上，我强烈推荐
继续来看索洛的理论给我们解释现实提供的思路。按照索洛模型的思路一步一步地来看其背后的解释含义是什么。我们最先研究的问题是：人均资本的变化会导致经济的变化，并且人均资本最终会在停留在稳定状态的水平上。只要不在这个稳定状态的水平，那么经济就要发生变动。我们解出稳态时候的人均资本水平是：
。
我们可以采取柯布—道格拉斯的生产函数解出稳态的人均资本存量水平，这样我们也可以更加清楚地看出那些影响稳态的人均资本存量水平的因素的作用。我们看到，可以通过提高储蓄率提高稳态时候的人均资本存量水平。那么就是说，有更高的储蓄率的国家应该享受更好的经济繁荣。
事实上是不是这样的呢？这里面有非常重要的问题。索洛假设说，储蓄等于投资，也就是经济中的储蓄会转化为有效投资，这样，这些投资高的国家，就会有较高的经济繁荣。事实上这是得到证明的，比如美国等国家的高的生活水平是因为有更高的投资水平，在这个角度上说，索洛模型是有解释力的。但是这里面的问题是：那么储蓄和投资之间的关系是什么呢？为什么有的国家有很高的储蓄率，储蓄量也不低，为什么没有那么高的经济产出呢？可能的回答是：储蓄转化为投资的环节有问题。只要这个环节有问题，就不要指望储蓄和经济产出之间有索洛模型预测的关系。
这个环节可能有什么问题呢？那就是储蓄没有转化为投资。可能是大量的储蓄放在银行里。因为没有好的投资前景或者因为其他因素，导致投资量很少。我们前面已经研究了什么决定了投资的问题，这样可以把两者结合在一起了。还有一种可能就是，即使转化了投资也没有转化为有效投资。也许投资都用来养活一些不具有比较优势的企业或者支持一些不具有比较优势的行业了。这些企业和行业对经济产出的作用很有限，这也会使得储蓄率和经济繁荣之间的关系出现断裂。
我们再来看，除了储蓄影响人均资本存量外，是否还有什么因素会导致这个稳态的人均资本存量的变化呢？从上面的结果可以看出，人口的增长率、知识的增长率和折旧率也是重要因素。如果一个国家的人口增长率很大，那么按照模型的预测，稳态时候的人均资本存量水平会下降，这样就会有较少的经济产出。
应该说这个预测也是有说服力的。很多国家的贫困部分上确实是因为其较高的人口数量和人口增长率。虽然在我们前面模型的研究中发现，经济的增长速度会和人口的增长速度有正相关的关系。可是这只能说流量的关系，并不能说明存量。较低的人口增长率会在长期提高人均资本的存量水平，会提高经济的产出。这也是我们为什么要计划生育的原因。
关于知识的增加，怎么也会使得经济产出低，这个问题我很迷惑，也许是我没有想明白，也许是索洛模型的一个瑕疵。折旧的因素就很容易了。折旧率越高，稳态时候的人均资本存量水平就越低。经济的产出就越低。折旧率自身有很多影响因素，比如对技术的掌握程度，比如，浪费的风气。我们可以想象一下历史就知道这是说什么了。
还有一种使稳态时候人均资本存量受到影响的方式，那就是直接影响这种资本存量。比如外部冲击。这种冲击有两种性质，有利的冲击和不利的冲击。有利的冲击比如说，发现了油气田，发现了稀有的矿产资源，这些都将提高经济产出的能力，从而影响一个国家的贫富。不利的冲击，最为著名的就是战争了。战争会摧毁大量的人均资本存量。当然也会摧毁大量的劳动力。这其中的影响可能是持平的。但是通常是不持平的。战争会让一个国家变穷，就是因为这种资本存量的减少，导致了经济中的低产出。对于这种影响我们可以更加广泛地来理解，战争会使得原本用于发展的资金用来打仗，自然会减少资本存量。
我们还会发现战争后，会有较快的经济增长奇迹。这也不难理解，因为现在的资本存量和稳态时候的资本存量差距变大了，那么经济中的机制就会导致经济向稳态的水平上走，二者相差越大，走的越快，经济的增长率越高。这就是为什么每次战后总有国家创造增长奇迹。
但是如果因为这个原因而鼓吹战争的话，我认为那是最愚蠢的。我们确实发现有一些疯子鼓吹战争对经济的刺激。之所以这样鼓吹，是因为这些蠢货分不清流量和存量。战争相当于一下拿走大量的存量，而后通过流量来弥补。这是图个什么啊，耗费几年的心血为了达到原来的水平！历史上的战争在经济上的性质都是掠夺战，是因为想掠夺而发动的战争。那个发动战争的国家也一定是积累了大量财富并且经历了经济增长的停滞，没有别的办法的条件下，只能靠掠夺来增加国民财富。战争的其他动机就不好说了。比如《特洛伊》中的屠城战争因为人的欲望和尊严。这就超出了经济分析的范围了。
在经济处于稳态的时候，人口的增长率和知识的增长率是经济增长的决定因素。但是索洛模型并没有说明这些这些因素是怎么互相影响的。
现在回头来看索洛模型的思路及启示。索洛关心是什么决定了经济增长，通过操作资本，更确切地说是人均资本的概念，索洛发现，经济增长的主要因素是人均资本的投入。只要人均资本的投入发生变化，经济就要发生变化。在人均资本处于稳定状态的时候，是人口和知识决定了经济增长。
这种思维十分重要，我们几乎不能同时操作几个概念，所以要简化思考。怎么简化才能够不丢掉其他重要因素呢？索洛给我们提供了一个经典范例。那么我们是否可以操作其他的投入要素，比如劳动力，从而也来解释经济增长呢？！这是一个问题吧。
我们不过多地谈论了，更多含义大家自己琢磨，到什么程度，都是看个人的修为了。我们结束宏观经济学的经济增长的学习。宏观经济学到此也全部结束了。最后一章，我想说说宏观经济学中的政府，因为，宏观经济学在很大程度上是为政府而设计的，宏观经济也是一个政府主导的经济。我们想要知道，政府该做些什么？能够做些什么？他们这么做了，会有什么后果？我们也将会看到，为什么政府的经济政策总是谤誉交加。