二、投资乘数效应新法则
1、投资的储蓄乘数效应值
——用数学方法推导有税收时的投资储蓄乘数
当一笔投入后，我们设定边际消费倾向用b表示，那么边际储蓄倾向则为1－b，假定长期税收增量函数为：△T＝t·△Ｙ，即根据国民收入增量收取比例税计算。
第一次投入△I，第一次税收为△I×t，第一次储蓄是为△I（1－t）（1－b）；
第二次投入：（△I－△I t）b ＝△I（1－t）b，第二次税收为△I（1－t）bt，第二次储蓄增长量为△I b（1－t）2（1－b）；
第三次投入：﹝△I（1－t）b－△I（1－t）bt﹞b＝△I（1－t）b2（1－t）＝△I b2（1－t）2
第三次税收为：△I b2（1－t）2t，第三次储蓄增长量为△I b2（1－t）3（1－b）
第四次投入：﹝△I b2（1－t）2－△I b2（1－t）2t﹞b＝△I b3（1－t）3
第四次税收为：△I b3（1－t）3t
……
由于第一次储蓄是第二次投入后，才有储蓄剩余产生的。
所以第n次投入为△I bn－1（1－t）n－1，第n-1次储蓄增长量为：△I bn－2（1－t）n－1（1－b）
所以：总的储蓄增长量为：
△S＝△I（1－t）（1－b）＋△I b（1－t）2（1－b）＋……＋△I bn－2（1－t）n－1（1－b）
＝△I（1－b）﹝（1－t）＋b（1－t）2＋……＋bn－2（1－t）n－1﹞
＝△I（1－b）·（1－t）﹝1＋b（1－t）＋……＋bn－2（1－t）n－2﹞·﹝1－b（1－t）﹞/﹝1－b（1－t）﹞
＝△I（1－b）·（1－t）﹝1－bn-2（1－t）n-2﹞/﹝1－b（1－t）﹞
由于b﹤1，（1－t）﹤1，b （1－t）﹤1，当n＝∞时，b n-2（1－t）n-2＝0，所以1－b n-2（1－t）n-2 ＝1
因此，△S＝△I（1－b）·（1－t ）/﹝1－b（1－t）﹞
投资储蓄乘数为（1－b）·（1－t ）/﹝1－b（1－t）﹞
2、投资在边际贷款倾向作用下，投资储蓄乘数产生后，其总储蓄增长量能否适时进入第二轮投资问题
（1）如果一个地区大边际支出倾向高，边际贷款倾向越高，则投入除产生投资乘数的国民收入增长量外，还会产生储蓄乘数增长量按边际贷款倾向转化为第二轮投资乘数效应
——外来投资产生储蓄乘数效应后的第二轮投资经济模型
大边际支出倾向高，为什么会出现边际贷款倾向也高呢？
因为大边际支出倾向与大边际储蓄剩余倾向之和等于1，如大边际支出倾向高，则边际储蓄剩余倾向低，说明国民收入的增量所引起的储蓄剩余少。储蓄剩余的量越少，说明了投资的增量多，而投资的增量多，说明了贷款增长率高，因此说明了边际贷款倾向也高。
边际贷款倾向高，说明了国民收入增量引起储蓄的增长将很快通过这边际贷款倾向而转化为投资，而投资又会出现投资乘数效应，从而使原来一笔投入后除了引起的投资乘数效应国民增量值之外又会得到储蓄乘数效应值并按边际贷款倾向而转化为第二轮投资乘数效应值。第二轮储蓄投资又会得到储蓄乘数效应值，这样多轮投资后将得到多轮的储蓄投资乘数效应值。
我提出了大边际支出倾向、边际贷款倾向和大边际储蓄剩余倾向等新概念，为了今后的计算中方便，我们设定b表示边际消费倾向，这也是西方经济学经常用b来表示边际消费倾向的。可设定边际支出倾向用B来表示，则大边际储蓄剩余倾向为1－B。边际贷款倾向用V来表示，小边际储蓄剩余倾向则用1－V表示。设定税收增加量与国民收入增加量成比例增长。即△T＝t△Ｙ
社会投入一笔资金或是从外面举债来一笔资金，这一笔投资所产生的国民收入的乘数效应值是：
△Y1＝△I× 1/﹝1－b（1－t）﹞
这一笔投资转化为储蓄部分的资金增量为△S，其公式为：
△S＝△I（1－b）·（1－t ）/﹝1－b（1－t）﹞
由于这个区域大边际支出倾向很高，所以储蓄剩余少，因此边际贷款倾向较高。政府通过一系列措施提高了大边际支出倾向，因而通过这一笔投入后，虽然产生国民收入增量，但同时也增加了储蓄增量，由于大边际支出倾向高、导致边际贷款倾向高，因此储蓄增量又通过边际贷款倾向转化为投资。此时总的储蓄额的增长量为投资所带来的税收增量和投资转化为储蓄的增长量。
投资所带来的税收增量为△T，其公式为：
△T＝△I· t×1/﹝1－b（1－t）﹞。
总的储蓄额增长△S’＝△I（1－b）·（1－t ）/﹝1－b（1－t）﹞ ＋ △I· t× 1/﹝1－b（1－t）﹞
由于大边际支出倾向高，那么边际贷款倾向越高，设第一笔资金投入后的边际贷款倾向为V，则△S中将有△S·V部分重新转化为投资，银行下一轮投资所产生的投资乘数效应为（外来投资产生储蓄乘数效应后的第二轮投资经济模型）：
△Y2＝｛△I（1－b）·（1－t ）/﹝1－b（1－t）｝ ＋ △I· t×1/﹝1－b（1－t）﹞｝·V·1/﹝1－b（1－t）﹞
＝｛△I（1－b）·（1－t） ＋ △I· t｝·V／﹝1－b（1－t）﹞2
假定从外举债100万元，税率t为0.05，边际消费倾向b为0.7，边际贷款倾向V为0.8.
则根据投资乘数效应的国民收入增量公式：
△Y1＝△I/﹝1－b（1－t）﹞＝100万元/﹝1－0.7（1－0.05）﹞＝100万元/（1－0.665）
＝100万元／0.335＝298.5075万元。
根据投资储蓄乘数的储蓄量增长公式（假定大家把收入用于消费外的储蓄部分都转到银行储蓄）
△S＝△I（1－b）·（1－t）/﹝1－b（1－t）﹞
＝100万元·0.3·（1－0.05）/（1－0.665）
＝30万元·0.95/0.335
＝85.0746万元
求税收增加量△T：
△T＝△I· t×1/﹝1－b（1－t）﹞
＝100万元·0.05/0.335
＝14.9254万元
又根据投资乘数的国民收入增长量公式计算第二轮投资的乘数效应：
△Y2＝｛△I（1－b）·（1－t）＋△I· t｝·V／﹝1－b（1－t）﹞2
＝｛100万元·0.3·（1－0.05）＋△I· t｝·0.8/0.335×0.335
＝﹝30万元·0.285＋5﹞·0.8/0.335×0.335
＝﹝30万元×0.285＋5﹞·0.8/0.335×0.335
＝96.59万元
我们只计算第一轮投资乘数效应后的国民收入总增长量。举债投入100万元给国民收入总的增长量是第一轮投资乘数效应值和第一轮投资乘数效应完毕后的储蓄增量通过边际贷款倾向又进入投资给国民收入带来增量，这样所产生的国民收入总增长量为：
△Y＝△Y1＋△Y2＝298.5075万元＋96.59万元＝395.0975万元。
为什么象这样的一笔投入后所产生的第一轮投资乘数效应值和第一轮储蓄乘数效应值所引起的多轮循环在有些地区和国家不能持续下去呢？这主要是储蓄剩余的存在。也就是说储蓄并不能随心所意地进行投入，银行总要有一定的储蓄剩余存在。
从上述的演算中可看出通过比边际消费倾向小得多的边际储蓄倾向在边际贷款倾向0.8的作用下，所产生的国民收入的总增长量比第一次投资乘数效应所产生的增长量大。如果边际贷款倾向大到1以上，第一笔投资有一部分转化为储蓄增长量，储蓄增长量又转化为投资，投资又转化为储蓄量，那么这个第一笔投入对国民收入的增量将是很大的。果真如此，那我们就老早进入共产主义社会了。正是由于储蓄并不能全部转化为投资，再加上投资乘数效应需要有一定的时间才能进行完毕，因此我们才看不到如此美妙的景况。
（2）边际贷款倾向低，使投资储蓄乘数导致的储蓄乘数增长量中的很少一部分通过贷款进入第二轮投资
如果一个地方大边际支出倾向低，一般说，边际贷款倾向低。那么投资产生乘数效应后，其储蓄增长量只能用来调整由于贷款投资增加导致暂时高倾向的边际贷款倾向并重新使边际贷款倾向降低，这样储蓄增长量就可能被存在银行里无人问津或者是储蓄增长量的很小一部分被贷出去。
现举例说明这个问题。
贫困地区为什么难于快速发展，主要是这个地方的大边际支出倾向低，大边际支出倾向低，则储蓄剩余量占前一年国民收入和储蓄剩余增量之和的比例高，说明这个地区很难将储蓄剩余转化为贷款，这正反映了这个地区有钱者很难找到投资项目的情况。我们设定这个地区的边际贷款倾向为0.5，假设一信用社的储蓄剩余为10万元，说明这个地区已经贷出了10万元，现在有一个人向银行贷5万元，从而一下子使该地区的边际贷款倾向提高为0.75，这个提高首先是虚假的提高，从表面上看银行的钱是贷出去了。但实际上是否真能维持0.75的边际贷款倾向尚是一个未知数。
现在假定这个地区的边际消费倾向为0.5，根据投资乘数的公式，现计算这笔5万元的投资给这个地区国民收入增加的数量△Y。
△Y＝△I× 1/﹝1－b（1－t）﹞，由于税率设定为0.05，则：
△Y＝5万元/﹝1－0.5（1－0.05）﹞
＝5万元/0.525＝9.5238万元。
再计算投资储蓄乘数的增长量：
△S＝△I（1－b）·（1－t）/﹝1－b（1－t）﹞
＝5万元×０.5（1－0.05）/0.525
＝2.5万元×0.95/0.525
＝4.5238万元。
投资5万元后对税收的增加量为：
△T＝△I· t×1/﹝1－b（1－t）﹞＝5万元×0.05/0.525＝0.4761万元
整个社会的总储蓄增长量应为：△S’＝△S＋△T－5万元＝4.5238万元＋0.4761万元－5万元＝—0.0001万元。
由于5万元投资的这个项目的市场竞争激烈，因而其经济效益不是很好，所以这5万元投资没有增加这个地区的边际贷款倾向，又使原来边际贷款倾向恢复到0.5，结果总储蓄增长量为：S’＝万元。
说明边际贷款倾向低，则最后一笔投资贷款的储蓄增长量将是很低的，甚至是负数。
（3）在边际贷款倾向作用下，投资产生储蓄乘数效应后，那么所产生的储蓄增量全部进入第二轮投资的边际贷款倾向应为多少？
设定该区域的边际贷款倾向为M，则储蓄剩余倾向为1－M，边际消费倾向为b ，则边际储率倾向为1－b，设总储蓄量为Ｓ，则储蓄剩余资金为（1－M）·Ｓ。设定税收增量为国民收入增量的税率比例函数，即△T＝t·△Ｙ。
现在假设进行一笔货款投资为△I。
这笔投资经过乘数效应后所产生的税收增量为：
△T＝△I· t×1/﹝1－b（1－t）﹞
其所产生的储蓄乘数值为：
△S＝△I（1－b）·（1－t）/﹝1－b（1－t）﹞
税收增量加上储蓄乘数增量，再减去已贷出的△I等于总的储蓄增量：
△S’＝△I（1－b）·（1－t）/﹝1－b（1－t）﹞ ＋ △I· t/﹝1－b（1－t）﹞－△I。
总的储蓄资金为：
Ｓ1＝Ｓ＋△I（1－b）·（1－t）/﹝1－b（1－t）﹞ ＋ △I· t/﹝1－b（1－t）﹞ －△I。
求解这笔投资所产生的储蓄增量全部进入第二轮投资的边际贷款倾向是多少？
M’ ＝△S’/（Ｓ1－Ｓ）
＝｛△I（1－b）·（1－t）/﹝1－b（1－t）｝ ＋ △I· t/﹝1－b（1－t）﹞ －△I｝/｛Ｓ＋△I（1－b）·（1－t）/﹝1－b（1－t）｝ ＋ △I· t/﹝1－b（1－t）﹞ －△I｝－Ｓ。
＝1
因此在边际贷款倾向的作用下，要使贷款投资后所产生的储蓄增值后的储蓄增长量全部进入第二轮投资，此时的边际贷款倾向为1，我认为要保持边际贷款倾向为1是非常难的，正是如此，所以说振兴区域经济是一件不容易的事。
作者：余荣星，QQ号为382163029，固定电话：0757—26135324