属性数学概论（三）
作者：赵致生
第一章：属性算术与属性函数
算术计算过程，就是属性函数的具体量值结构关系的变化过程。而具体量值的算术过程，则是属性函数变化过程中的唯一。具体量值的算术计算过程，就是属性函数系统变化规律中的具体量值产生的随机。而算式具体计算过程也是属性函数整体系统特有属性规律之间的一种转换。在属性函数中都可以通过属性规律展示的共性与个性规律直接找到其存在的理由与依据。
比较一下，方程求解法，算术计算法，算术函数计算法，属性函数计算法之间的关系。尽管现在我们还没有讲到属性函数的具体演算方法，但是，属性函数展示出来的囊括所有具体数值的变化过程与席卷所有算术方法的算式结构，足以展示了属性函数在数学科学上的整体结构性。而方程求解法，则只是演算了具体量值关系在属性函数中的一个随机唯一。而算术计算法计算的结果尽管也是得到了随机产生的唯一结果，但是一个算式的产生，则离不开这个算式产生的算术函数。离不开算式中具体数值产生的算术函数系统。归根结底就是一句话，所有的量值关系都确定在一个属性变化的属性系统结构框架之中。就可以系统的计算一切同类，分析一切同类。把同类中的任何随机问题，转化为属性函数中的必然。
东西方数学的壁垒，从根本上来说，就是随机事物的研究与系统事物研究的方法壁垒，就是随机体系与系统体系的壁垒。消除东西方数学壁垒，有两条路可走，一是方程系统化、一体结构化。通过对所有随机的整体系统、随机计算的整体结构系统，建立概全所有属性内涵的数学问题。通过所有方程构成的系统，整体来研究量值的具体数值随机性与整体系统变化的必然性。二是通过算术函数系统的集合，建立分门别类的属性函数系统。把任何量值的算术唯一，转化为属性系统中的必然对应。
第一节：属性算术与量值算数
属性数学与量值数学在算术层面上的内容也是不一样的，为了说明这个问题，我们可以用一个大家都非常熟悉的算术题目来具体说明一下这个问题。
鸡兔同笼算术问题，讲的是多少个头与多少个脚的问题。然后要求大家通过已知的头与脚的具体数目计算出鸡与兔的具体数目。
东、西方数学在解这个具体的算术题目时，方法是不同的。
西方数学通常使用方程法，要设立未知项X、Y并建立未知项的关系等式，如果已知条件用A表示笼中的头数量，用B表示笼中的脚数量。则可以得到：
X+Y=A；
2X+4Y=B；
我们可以通过二元一次方程组，得到X、Y的确定值。
当已知条件用变化为C表示笼中的头数量、D表示笼中脚数量的时候，则还需要从新设立一个二元一次方程组，来计算这个问题：
X+Y=C；
2X+4Y=D
显而易见，当已知条件变化为E、F时还要重新建立方程组来重新计算。如果笼子足够大，那么，这个已知条件可以无限的变化下去，我们就需要对应的列出无限多个方程组来解决这些具体问题。
因为大家自幼就接受西方经典数学的教育，对这种方法已经习以为常。并没有研究属性算术中的另外一种解法，现在介绍给大家。
属性算术是以属性量值特征为计算依据的一种计算方法，一只鸡有一个头两只脚，一只兔有四只脚是鸡兔特征不变的自然属性。故可一头四脚为兔，一头两脚为鸡计之。全笼皆鸡时每替换一兔增加两只脚、全笼皆兔每替换一鸡时减少两只脚。则在鸡兔同笼问题中，以笼中头数量A、脚数量B的变化确定：
4A-B则为鸡更替过程中减少的脚数量，一只鸡减少两只脚，则2A-B/2就是鸡的数量；B-2A则为兔更替过程中增加的脚数量，一只兔增加两只脚，则B/2-A就是兔的数量。
所以，此题目的计算过程，只需要用鸡兔同笼中已知头数量A，与已知脚数量B，通过简单的数字计算就得到了结果。而且，无论题目中的数量如何变化，这种方法都适用。
当然，属性算术中还有另外一种推理法，就是属性比例剩余法，尽管它属于属性函数范畴内的一种结构方法，但是在算术算式推理过程中，经常使用到，所以，提前也在这里一并介绍给大家。
在鸡兔同笼的限定条件下，一只鸡一只兔同笼共有六只脚，两只鸡两只兔同笼共有十二只脚……。显而易见，只要鸡兔数目相同，头与脚的数量比则为1：3，是一个常量。而在鸡与兔数量不同的情况下，1：3的比例之外则是多一只兔多一只脚，多一只鸡少一只脚。于是，我们通过这种属性关联确定了一个计算关系：如果已知条件依然用A表示笼中的头数量，用B表示笼中的脚数量。则可以得到这样的判断：
当B大于3A的时候，B-3A为兔比鸡多的数量，当B小于3A时，3A-B为鸡比兔多的数量。
则[A-（B-3A）]/2就是鸡的数量；[A-（3A-B）]/2则是兔的数量。
鸡的数量则为：（4A-B）/2简化为2A-B/2；兔的数量则为（B-2A）/2简化为B/2-A
这样，我们就可以利用这个公式，在A、B变化成C、D；E、F；……等任何量值的时候，进行简单的算术运算了。故称之谓算术。术计算的技术也。
如计算同笼中的鸡兔：10个头，32只脚。则鸡：20-32/2=20-16=4；兔：32/2-10=16-10=6。
10头，36脚，则鸡：20-18=2；兔：18-10=8
12头，32脚，则鸡：24-16=8；兔：16-12=4
同类算术问题计算的简便性是中国属性算术科学的一个最大特点。这种计算技术，最大的方便了属性函数数学的建立与发展。对于展示具体属性问题的运动变化范畴与趋势的表达与演义，奠定了坚实的基础理论基础。
我们可以通过西方经典数学的算数方法与中国古典的属性数学算术方法比较一下：
西方经典数学的计算方法是公式法与方程法。存在公式的计算项目，东西方的计算原则是没有什么明显差异的。而在非公式计算的其它具体应用计算范围内，方程法则在当今的数学计算过程中，占据了统治地位。而中国的古典算术计算法，早已经被人遗忘。甚至到了此类属性数学问题在小学为本中出现，要求不用方程法解时，就连研究生也束手无策的程度。方程万能论，是当代科学技术发展的主流，一个方程的发现就创建或产生一个新的学科。方程式的演义，越来越复杂，越来越难懂，许多高端的方程式甚至几个世纪也没有人能证明其对错。许多高端方程还找不到具体适合它价值的应用。许多人还在设计他的独特方程，许多人还在为新的方程问世而沤心沥血。方程科学作为当代数学研究数与形科学关系的主要工具，无可厚非的离不开笛卡坐标与三维数学基础理论结构框架。于是，产生了两个无法逾越的鸿沟，一是方程解的分布探索，二是方程系统整体结构的探索。尽管西方数学基础理论的架构已经从实数发展到了虚数范畴，人类还是不能探索出所有方程根存在与分布的结构奥秘，而且越探索虚根越多，实根越少。尽管高斯方程系统结构理论已经找到了由低元、低幂至高元、高幂的变化规律，但是，仍然找不到有系统的结构框架存在。显而易见，西方经典数学基础理论把对方程系统理论的探索引向了一个不能自拔的迷谷。系统的展示一个方程的全部解分布是当代数学理论无法跨越的障碍。系统的演义一个方程所有根的运动与变化结构规律则更是量值数学可望而不可及的事情。只有属性数学才能揭示这一谜底，只有自然方程才能完成这一宏伟的数学工程。
从上面鸡兔同笼具体数学题目举例说明了方程解法与属性算术算法来比较。我们可以看出，两种算法在得到的结果上是相同的，是完全一致的，不同的是仅仅是方法上的繁简不同、方式不同、方法不同。而最根本的区别则是在数学后继内容上的不同。那么，两种数学计算的后继内容又具体是什么问题呢？
第二节：算术与算术函数
西方经典数学中的方程计算数学，属于一题一解的计算形式，同类问题只能逐一建立方程。而且题目的成立与否、有解无解，也需要在计算结果能否产生之后才能确定。更无法展示同类问题之间存在的变化过程与相关关系，因为方程建立的等式关系是量值等式关系。
东方属性数学中的算术计算则不同，它是一种直接用因计算果的计算技术。因此算术的解法首先要分析问题的存在范畴与变化区域，寻找变化的规律，确定量值的属性变化关系，建立属性变化公式，这一公式，不但在问题的具体量值上是适用的，而且在此区域变化范畴内的所有数值都适用，而且对此类问题其它数值范围也有通用性。这种通用性的功能就是建立算术函数系统。
如鸡兔同笼，头15，脚50，用二倍头数减二分脚数得鸡：30-25=5；兔：用二分脚数减头数得兔：25-15=10。极其方便，容易。而方程法则需要先建立方程组，后解。结果相同。
而当此题目已知条件变为：头15，脚64，时。则无解。为什么无解呢？
在算术解题目的过程中，就确定了这个题目的变化范围在4倍头数与2售头数之间，超出这个范围的数值，则无解。而方程法，则需要解出无解的结果才能确定。
显而易见，此题目头数15一确定，脚数目的变化范围也就确定了，只能在30至60之间进行。而脚数目50一确定，头变化则只能在25至13之间进行。而且可以通过算术方法，用算术函数形式建立属性增减变化过程结构演示式。
以鸡兔同笼10头，其脚数量的变化与鸡兔数量变化的关系为分析的起点：
其脚的变化数量只能在20→40之间：
10鸡、9鸡1兔、8鸡2兔、7鸡3兔、6鸡4兔、5鸡5兔、4鸡6兔、3鸡7兔、2鸡8兔、1鸡9兔、10兔
20脚、22脚、 24脚、 26脚、 28脚、 30脚、 32脚、 34脚、 36脚、 38脚、 40脚
显而易见，脚的关系，是由两个鸡兔数量的逆向数列构成的：
鸡： 10→9 →8 →7 →6 →5 →4 →3 →2 →1 →0
兔： 0←1 ←2 ←3 ←4 ←5 ←6 ←7 ←8 ←9 ←10
脚： 20→22→24→26→28→30→32→34→36→38→40
鸡脚：20→18→16→14→12→10→ 8→ 6→ 4→ 2→0
兔脚：0 ←4 ←8 ←12←16←20←24←28←32←36←40
这种限定鸡兔同笼中头或脚的一个具体数量所产生的所有相关数字算术运算的集合。我们则称为这样的计算结果为算术函数。
相反，我们如果使用经典数学中的方程解法，是没有办法直接来建立这样一个算术函数的，因为方程分析的数值是给定的随机条件，计算的也是一个数学函数中的随机结果。而如何寻找这个随机因果与一个系统函数的因果关系，则需要算术具体技术来完成，这种系统计算技术，我们就称为算术。
通常算术函数是由两个计算系统构成的。前面演义了10个头条件下的鸡兔同笼问题的算术系统计算，下面演义一下12个脚的鸡兔同笼问题的算术系统计算：
以鸡兔同笼12脚，对其头数量的变化与鸡兔数量变化的关系为分析的起点：
其头的变化数量只能在3→6之间：
6鸡、 4鸡1兔、 2鸡2兔、 3兔
12鸡脚、8鸡脚4兔脚、4鸡脚8兔脚、12兔脚
显而易见，头的关系，是由两个鸡兔脚数量的逆向数列构成的：
鸡脚：12→8→4→0
兔脚： 0←4←8←12
鸡头： 6→4→2→0
兔头： 0←1←2←3
头： 6→5→4→3
算术函数的数学意义：
算术是一种直接用因计算果的计算技术。是一种在具体数量限定条件下不依赖设定未知量参与计算的一种直接用因计算果的数学计算形式。而产生这一计算形式的具体方法则是建立在对具体问题的属性量值算术归纳法。
属性算术归纳法产生的计算形式，我们称为算式。在鸡兔同笼问题中，2*头数量-脚数量/2=鸡数量；脚数量/2-头数量=兔数量。就是我们通过属性量值归纳法确定的具体算式。
通过具体数学问题的具体算式，我们可以限定一个算因不变的条件下，产生系统的具体因果变化系统关系。如鸡兔同笼中的10头、12脚限定条件下的鸡兔脚、头变化的系统范围与具体量值，我们则称为算术函数系统。
显而易见，算术是二因产生一果的算式，算术函数是算式中的一因限定而生二果之变。而属性函数则演义的是算式的三因之变。所以，算术，算术函数，是属性函数产生的基础计算形式、具体量值计算方法。也就是说，没有算术产生的具体算式，就不会产生算术函数系统，没有属性函数系统，就不会产生属性函数，就不会产生属性数学。没有属性数学，就无法揭示符号属性科学的内涵。
众所周知，中国的古哲学，就是一种符号属性科学。阴阳八卦则是阴爻、阳爻符号的组合。阴阳五行也只是金、木、水、火、土五个符号展示的生克循环系统。就其根源而言，符号属性科学就是不含有具体量值计算关系的属性算术。阴阳八卦、阴阳五行，就是符号属性科学的具体算式。故八卦可算，五行可术也是情理之中的事。但是，当今的八卦可算，已经蜕化变质为占卜算命、五行可术已经再无具体的量值关系与属性函数所依。完全失去了属性数学的系统性、整体性、规律性。变成了具体问题可随机猜测的任意。
如何用数学方法揭示其符号属性科学的内涵，则是发展中国算术的当务之急、发展中国属性算术科学的当务之急。
第三节：算术函数与属性函数
属性函数是在算术函数基础上升华产生的。它展示的内容是算术函数通过数字具体量值演义得到的数字属性运动规则与变化规律之间的相关属性关系。
我们从前两节中介绍的鸡兔同笼问题中，从具体的算式产生，到算术算计过程都做了详细的介绍，并对算术函数的产生作了说明与简述。展现出了属性与属性之间一对一的量值对应关系系统。
头2：2兔、1鸡1兔、2鸡
脚： 8 6 4
头3：3兔、1鸡2兔、2鸡1兔、3鸡
脚： 12 10 8 6
头4：4兔、1鸡3兔、2鸡2兔、3鸡1兔、4鸡
脚： 16 14 12 10 8
………………
脚4：1兔、2鸡
头： 1 2
脚6：1兔1鸡、3鸡
头： 2 3
脚8：2兔、2鸡1兔、4鸡
头： 2 3 4
…………………
在属性与属性之间形成的算术一对一量值系统中，头、脚数量比也是不相同的。但是，我们可以看到，有三种特殊的一成不变情况，是不随着属性数量的增加减少而变化的。一是头全是兔时，头/脚=1/4；二是头全是鸡时，头/脚=1/2，当鸡兔数目相同时，头/脚=1/3。而算术函数中其它各项的具体属性数值比都是唯一的。都变化在这三个一成不变的比值确定的范围之内。
1/4、1/3、1/2
则头4：4兔、1鸡3兔、2鸡2兔、3鸡1兔、4鸡
脚： 16 14 12 10 8
算术函数可以表示为：
1/4、2/7、1/3、2/5、1/2
头10：
10鸡、9鸡1兔、8鸡2兔、7鸡3兔、6鸡4兔、5鸡5兔、4鸡6兔、3鸡7兔、2鸡8兔、1鸡9兔、10兔
20脚、22脚、 24脚、 26脚、 28脚、 30脚、 32脚、 34脚、 36脚、 38脚、 40脚
可表示为：1/4、10/38、10/36、10/34、10/32、1/3、10/28、10/26、10/24、10/22、1/2
在鸡兔同笼的限定条件下，一只鸡一只兔同笼共有六只脚，两只鸡两只兔同笼共有十二只脚……。显而易见，只要鸡兔数目相同，头与脚的数量比则为1：3，是一个常量。而在鸡与兔数量不同的情况下，1：3的比例之外则是多一只兔多一只脚，多一只鸡少一只脚。而这种增多与减少，并不是无限范围内的增加与减少。它的增加极限在笼子里全是兔子的时候就结束了，它的减少在笼子里全是鸡的时候也就停止了。如果已知条件依然用A表示笼中的头数量，那么增加与减少的量值极限都是A/2。为此，我们也可以确定一个计算算式：如果我们仍然用B表示笼中的脚数量。则可用A/2-（3A-B）/2=兔数量；化简：为B/2-A；A/2+（3A-B）/2=鸡数量。简化为：2A-B/2；
属性函数中的量值计算算式的结果虽然与算术算式简化后的一致，但是，他们的推理结构却区别很大，一个产生于所有算术函数的集合归纳，一个是产生于属性函数的整体分析。
显而易见，属性函数则是研究属性与属性之间的变化关系的共性规律性与个性系统构成。所以，我们引用算术函数的变化过程，把算术函数展示出来的规律性，通过创建一个具体的属性函数予以集中表达。创建一个说明具体数学的属性函数，需要在算术函数系统中寻找属性相关关系中的变与不变。变的趋势，变的极限。把无数个具体量值形成的离散算术函数集合到一个属性函数区间。并对他们的个性规律与共性规律作出集中的属性表达。通用于这个区间的算式，就称为属性函数算式。
属性函数的数学意义
属性函数与现代数学中的函数概念不同，是已知量值在算术范围内的所有算术函数的集合，是用量值结构关系展示属性结构关系的数学表示法。是把无限变化的具体数学问题，通过有限域完整表达属性共性与属性个性变化过程的一种数学方法。是通过属性特征建立的一个算术函数系统所展示的量值算术系统中的属性规律。所以，算术函数研究的内容是具体数学问题的量值算术及具体量值范围内的系统，属性函数研究的内容则是量值算术系统中的属性。
通俗讲，算术是研究属性与量值之间的计算方法，算术函数是展示属性在具体量值范围内的量值结构关系；属性函数则是研究数字量值结构关系中的属性特征与规律的学问。
显而易见，算术通常是一式一算，算术函数则是具体数量确定条件下的量值系统，属性函数则是集合算术函数的属性系统。算术函数可以通过一个算式确定一个系统，属性函数则是通过属性系统概全所有算术算式。
所以，属性函数在属性数学中的重要意义就是揭示算术属性规律与计算方法规律的科学工具。把具体的量值计算，升华为更广泛适应于更大属性范畴内的属性数学科学。用一句古代的话来说，就是通过数研究数理，通过数理来演义物理。因为无论是数与物，在属性与量值变化过程中都是有规律可寻的。
第四节：属性函数是算术函数所有算式的集合
对于一个具体存在的数学问题而言，找到一个算式，就可以解决这个具体数学问题的算术问题，并通过具体算式，建立一个与此对应的算术函数系统，展示这个系统中所有过程。而随着算术系统中具体量值的变化，同一算式，则会产生与量值变化对应的算术函数系统，这些系统都是各自独立、离散存在的。属性函数则是算术函数属性共性规律、个性规律集合建立的属性表达系统。所以，它也是算术算式与算术方法的集合。
我们把鸡兔同笼问题的属性函数用头/脚；脚/头的方式，表示成两个同时含有共性属性与个性属性的属性函数：
头/脚；1/4、……、1/3、……、1/2；
脚/头： 4、……、3、……、2
显而易见，鸡兔同笼问题的任何量值构成，都在此函数区间。如果我们用A表示头，用B表示脚。则头/脚可表示为A/B：1/4、……、1/3、……、1/2；脚/头可表示为B/A： 4、……、3、……、2：有了这个属性函数表达式，我们就可以对A、B在任何量值的情况下进行算术计算了。计算的算式，我们可以归纳为以下规律：（头/脚）*脚=头；（脚/头）*头=脚，头+头=头；脚+脚=脚，脚-脚=脚；头-头=头，等等。然后，依据共性量值比，与个性量值比的不同组合，产生形形色色的各种具体的算式。而且无论你使用哪种算式的形式作出的具体运算，其结果对于具体的已知量值而言，都是唯一的。
如：
[A-（B-3A）]/2=鸡的数量；[A-（3A-B）]/2=兔的数量；
（4A-B）/2=鸡的数量；（B-2A）/2=兔的数量；
2A-B/2=鸡的数量；B/2-A=兔的数量
算术算式的确立，在属性函数中都可以通过属性规律展示的共性与个性规律直接找到其存在的理由与依据。从这个角度来说，算术计算过程，就是属性函数的具体量值结构关系的变化过程。而具体量值的算术过程，则是属性函数变化过程中的唯一。具体量值的算术计算过程，就是属性函数系统变化规律中的具体量值产生的随机。而算式具体计算过程也是属性函数整体系统特有属性规律之间的一种转换。
现在我们再回过头来比较一下，方程求解法，算术计算法，算术函数计算法，属性函数计算法之间的关系。尽管现在我们还没有讲到属性函数的具体演算方法，但是，属性函数展示出来的囊括所有具体数值的变化过程与席卷所有算术方法的算式结构，足以展示了属性函数在数学科学上的整体结构性。而方程求解法，则只是演算了具体量值关系在属性函数中的一个随机唯一。而算术计算法计算的结果尽管也是得到了随机产生的唯一结果，但是一个算式的产生，则离不开这个算式产生的算术函数。离不开算式中具体数值产生的算术函数系统。归根结底就是一句话，所有的量值关系都确定在一个属性变化的属性系统结构框架之中。就可以系统的计算一切同类，分析一切同类。把同类中的任何随机问题，转化为属性函数中的必然。
东西方数学的壁垒，从根本上来说，就是随机事物的研究与系统事物研究的方法壁垒，就是随机体系与系统体系的壁垒。消除东西方数学壁垒，有两条路可走，一是方程系统化、一体结构化。通过对所有随机的整体系统、随机计算的整体结构系统，建立概全所有属性内涵的数学问题。通过所有方程构成的系统，整体来研究量值的具体数值随机性与整体系统变化的必然性。二是通过算术函数系统的集合，建立分门别类的属性函数系统。把任何量值的算术唯一，转化为属性系统中的必然对应。
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