论“剩余倍分法”的研发价值与实际应用
——破解“孙子定理”的金钥匙“剩余倍分法”
张景峰
（长子县大堡头联校，山西，长治，046604）
近期，山西数学专业核心期刊《数学爱好者》2008年10月发表连载，原创“剩余倍分法”重解“中国剩余定理”，读后感受颇深，一开始被新颖的标题所吸引，第一遍读后似懂非懂，经过反复研读并依照“剩余倍分法”（以下简称“倍分法”）公式进行反复推算《孙子算经》的“物不知数”题，不由从内心深处发出惊叹，作者张春荣、张景刚两位普通农民能有如此重大发现，把“孙子定理”通过转换定位在四则运算的范畴内计算，如此简单方法，确实是惊人之举。
《孙子算经》出现在公元4—5世纪，记载的“孙子问题”举世闻名，也就是人们所熟悉的“物不知数”，主要是推崇《孙子算经》处理此类问题时间上领先，关于思想方法的成熟，还有待于后来的中国宋代数学家秦九韶（1202-1261）所著《数书九章》里，用“大衍求一术”推广了“孙子问题”的解法。由此奠定了“孙子定理”又称为“中国剩余定理”。
“中国剩余定理”是专门研究一次同余式问题。一次同余式问题是描述周期现象的数学模型。在古代社会生产与实践活动中，除了天文、历法推算之外，很难找到其它的用武之地。因而在秦九韶之前，把“物不知数”作为数学游戏，出现在古代《孙子算经》中，关于古代研究天文、历法中一次同余式应用的许多重大成就，作为皇家最高机密，在几千年漫长的时期内，没有像其他数学著作中的，勾股定理，解方程，圆周率……等等得到流传与推广，成为我国古代数学史上的一大遗憾。
“孙子定理”虽然通过秦九韶，德国高斯（1801）的工作，早已形成一套固有的解法，出现在大学《数论》的课堂里。然而因解题过程繁琐，不具备一定数学基础的人很难理解。它的解题方法在基础教育中没能推广，所以“孙子定理”使大多数人们感到茫然。纵观古今，始终没有一个像“倍分法”这样的计算公式，同时给出几种计算方法解决同余式、同余式组问题。“倍分法”用其独创计算公式，计算方法，完整的计算过程，只要具有四则运算能力的人，通过简单学习，掌握其本要领，即可使用，很有推广普及的价值。它结束中小学生以往碰到（奥数）同余式问题时多数为猜的原始笨算方法解题。“倍分法”即简化了“大衍求一术”繁琐解题过程，又可是同余式问题的解法得到普及。结束了处理剩余问题无通用简化公式的历史。
“剩余倍分法”正基础数，负基础数，互除余一，互除少一和非互素的化约问题的方法和整体理念，超越时空的解释秦九韶“大衍总数术”“蓍卦发微，行程相及”等题设计理念完整性，正确性的论述，充分体现“倍分法”处理同余式问题时的优越性，尤其是“倍分法”中的“负基础数”理念的发现与应用，拓宽《数论》的研究范围，为《数论》研究开辟了崭新的领域，为现代计算机程序设计，信息安全，天文，历法，经济贸易等等领域，开辟了更广阔的应用天地。“倍分法”填补了千余年，处理剩余问题普及应用的难题，创造了一个数学奇迹，具有里程碑的意义。它不仅重新诠释和补充了“中国剩余定理”，而且最重要的是重新构建和发展了“中国剩余定理”算法理论，拓展了其应用范围。
作为一名普通小学校的教师，数学爱好者，读了“剩余倍分法”重解“中国剩余定理”之后，并对四年级学生进行课堂讲学试验，发现这一研究成果如果进入中小学课堂，很有推广价值，它不仅趣味性强，对提高学生素质教育和认识数学史，了解古代文化，提高爱国主义教育很有实用推广价值。但是，我们细细研读后发现“倍分法”的理论是全新的，师生没有这方面的基础，理解其理论有一定的难度。现将“倍分法”与现行教材的实际应用与使用环境分析如下：
一、“剩余倍分法”与我们现行教材的不同之处：
1、我们现行教材对除法的教学注重的“商”，而“倍分法”注重的是“余数”。
2、教材对剩余问题只强调“余数不能大于除数”而“倍分法”中的“余数”可以大于、负于“除数”。
3、教材对“余数”的教学，只停留在认知的状态，而“倍分法”则专门研究余数、探究余数，通过余数，除数还原“被除数、商数”。补充教材里缺失部分。
4、“倍分法”的计算公式，计算过程与教材的计算公式，形式和计算过程截然不同，它新颖别致，奇特别样。体现了数学计算过程的对称美。
5“倍分法”同余周期表的发现与建立，是解决一次同余式问题的简明数学用表，是“剩余倍分法”公式、正、负基础数的出处，是研究“倍分法”重要的组成倍分。同余式周期表在教材里是前所未闻的。
6、提出解决“余数”问题通用方法，如何在教育领域普及应用问题。
二、理解“剩余倍分法”的难点：
“剩余倍分法”主体框架理论构建已趋完善。但细节理论的阐述还有待完善，部分细节小学生理解起来有一定困难，想不通其中的道理。以上提到的“倍分法”与教材理论的不同，便使造成我们理解“倍分法”理论最困难的原因之一。尤其是“余数”可以大于、负于除数，这与我们现行教材和教学模式相冲突，容易造成师生数学思维逻辑上的混淆。这些思维逻辑上的冲突，也是造成理解上困难的原因之二。还有“倍分式”两两互除求余1，寻找基础数的计算过程，“倍分式”构建的原理阐述理解也较为困难，这是理解的难点之三。再有立式改平式，变式后｛AN（B±D±C）±C｝÷（AB）中的（B±D±C），怎样推理来的？课堂上给学生导出该公式的细节问题也有难度等理论上的缺少是造成理解“倍分法”的难点之四。这也是当前研发“倍分法”普及到小学校重点。总之它的具体细节理论体系(教学理论)亟待研发补充和完善。
三、“剩余倍分法”的优点：
1、计算简便，具有一定四则运算能力的人，都能计算。
2、计算过程，环环紧扣，逻辑严谨，不证自明。
3、一些年龄问题，盈不足问题，不定方程问题，同余式问题，同余式组问题等等均可解决，且方法简单。
4、其几种简易公式把前人繁琐的计算过程简化，使其进入中小学课堂成为可能。
“剩余倍分法”这把金钥匙，不但破解了“中国剩余定理”，重要的是给数学领域提供了解决同余、不定方程等等问题的新方法，新思路。是数学领域的一次大革新。是我国国民基础教育不可缺少的一个组成倍分，有关部门应加大研发力度，使这一成果率先进入中小学课堂，从娃娃学起。
总之“剩余倍分法”作为一项创新成果，因其是独创的全新概念，没有多少现成的数学理论支持。在加上两位不懂教育教学的农民研发的新方法，如果直接用其论文进行普及，小学生没有一定的数学基础，理解起来确实困难，那么如何构建和完善它的理论体系，还需专家、学者参与。使其理论体系尽早的规范化，科学化，与现行教育理论接轨，使古老的中国数学文化以崭新的姿态走向全国，走向世界。
参考文献
1、 张春荣 张景刚“剩余倍分法”重解“中国剩余定理”山西《数学爱好者》2008年第10期、11期、12期。
2、朱家生《数学史》高等教育出版社2007年1月。