系统演化实例
廖仁平
关键词：系统 演化
提 要：简介了一些系统演化性质，并介绍了Lorenz混沌吸引子及生物进化树图。为理解社会系统悖论提供必要的知识基础。
系统中各参量（要素）间互相竞争合作而进化，其间因果关系非常复杂。不同状态时，各要素间的因果关系并不一样，一般说来它们之间的关系是非线性、非单调性、多分叉性的。
系统中各要素协同竞争合作而产生各种稳定的有序结构，在各种临界混沌态时对初始条件非常敏感，这是导致其分叉演化的理论基础。这可以为造反有理提供理论支持，在旧体系已经普遍令人不满时，或在竞争中明显处于不利时，改革或革命大多数时候是有积极意义的。
一般情况下，稳定结构可以对抗一定强度的涨落性随机干扰，无论这些干扰以什么形式出现，系统都会自动回到稳定结构态，所以稳定系统的态函数一般对“初始”条件不敏感。但在系统某参量正好处于分叉的临界态时，任何一点相关的微小干扰都会导致系统发生不可逆的进化，系统将从原来的结构进化到一种新的稳定结构，此时的系统对其相关的“初始”条件非常敏感。
“初始”是一个相对的概念，何时为初？这没有一定成规，完全看观察系统者的观察切入时间点。不过从混沌态对初始条件敏感这一说法中可以认为一般所说的“初始”就是系统处于极不稳定的混沌之时。
系统中有序结构与无序混沌是同时存在着的，彼此动态协同而进化。对其中有序的结构来说，一定的“外来”涨落性随机干扰起不了什么大作用，有序结构对这样的“初始”条件并不会敏感。对“外来”涨落性随机干扰敏感的一定是系统中处于混沌的部分，且这个随机干扰又恰恰是与此混沌部分发展变化相关的因素时，才会引起系统产生巨大的变化而使系统在宏观上表现为对这种“外来”涨落性随机干扰或“初始”条件的敏感。
有序结构与无序混沌同时存在的现象可以解释系统的发展是不平衡的，“外来”涨落性干扰的随机性也可以部分地说明系统发展的难以预测。
此附几则系统演化实例如下：从中可以部分地看到系统演化的相关性质。
（1）Lorenz混沌吸引子以及初始条件敏感性和不敏感性（Lorenz混沌吸引子以及初始条件敏感性和不敏感性_Scite_Jushi_新浪博客,Scite_Jushi, blog.sina.com.cn/s/blog_729a92140100qoja.html 2011-3-24 ）
…Lorenz混沌吸引子是最著名的混沌吸引子，被认为是第一个被发现的耗散系统混沌的实例。气象学家Edward Lorenz，也因此成为混沌学中最著名的科学家。Lorenz模型方程组为
x'=s(y-x),y'=x(r-z)-y,z'=xy-bz.
人们已熟知系统参数s,r和b为10，28，8/3时系统表现出混沌行为。Lorenz首先描述了非线性耗散系统的初始条件敏感性即所谓的“蝴蝶效应”。蝴蝶振动几下翅膀，可能引起数月后大洋彼岸的一场风暴，所以长期天气预报是不可能的。科技中说一个非线性系统是混沌的，最重要也最基本的含义就是初始条件敏感性。下面图片1，是从初始距离仅为1e-8的两条数字计算轨道间的距离随时间变化的曲线。有蓝色和绿色两条曲线，对应两种不同的数字积分方法。在开始一段时间内，两线重合，蓝线被绿线掩盖而看不见。t=10以后，两条曲线不再重合，说明数字积分方法和编程实现中的误差累积导致的轨道分离。所以传统的精确轨道概念不适用,系统和数字解是不稳定的。不同初始条件，不同算法和编程细节，都可以使计算轨道是不可重复的，系统的长期行为是不可预测的。实际的有限精度轨道类似于随机过程的一次物理实现。
吸引子是状态空间中的一个子集，从其中任意点出发的系统轨迹都全包括在其中。混沌吸引子中的轨道具有遍历性，时间足够长的话，任一轨道都可以以任意给定的有限精度接近吸引子中任一点，吸引子是不可分的，系统不能分割为更小的相互独立的子系统。这类似于平稳随机过程的各态历经性。各态历经的平稳随机过程的统计特性，可以用有限物理实现来估计。系统的混沌行为特征以及混沌吸引子作为一个几何对象，都可以用任意轨道数据来研究。嵌入定理更进一步表明，可以用一个状态变量或一个观测的时间序列（级数）嵌入状态空间，来分析系统和吸引子的内在特性。系统方程是确定性的，吸引子也是确定的。在吸引子中，从整体上，系统是稳定的。吸引子具有精致结构，表现出一种高级的系统秩序和不变性。
图片2，是从不同初始点（-16.45,-21.19,33.71）和（12.58,17.53,26.36）开始的两条轨道填充的吸引子在三维（3D）空间中的图像。时间区间为[0，205]。所用的两种数值积分程序与生成图片1的程序相同。图片3，是相应的状态变量的功率谱和自相关函数。(x,y,z)对应的初始条件是（-16.45,-21.19,33.71），自相关函数第一次越过1/e点的时间约为（0.29，0.22，0.15）；(x1,y1,z1）对应的初始条件是(12.58, 17.53, 26.36），自相关函数第一次越过1/e点的时间约为（0.28，0.21，0.15）。初始点相距很远，距离约为49，但图片2和图片3表明，吸引子图像，功率谱和自相关函数都几乎相同，对初始条件是不敏感的，与图片1所示的初始条件敏感性形成宣明对比。
图片4，是（x(t),x(t+d)）与（z(t),z(t+d)）的2D图像。时间t区间为[50,200]。d取0.15或0.3。所以其中共有四副重建相图。
以0.15或0.23为嵌入3D状态空间的延时，采用上述两种极端不同的初始条件，用不同的数值积分计算方法，包括定步长4阶龙格库塔法，欧拉法和变步长4阶龙格库塔法以及Scilab自带的ode函数（使用其缺省设置），居士计算了33组数据，估计的相关维均值为2.037，标准差为0.049。没有发现初始条件不同和算法误差导致大的相关维标准差。试算了一组数据的1D,2D和4D嵌入，估计的相关维分别是0.9968，1.8746，1.9965，可见3D嵌入是最佳选择。
x'=s(y-x),y'=x(r-z)-y,z'=xy-bz.
人们已熟知系统参数s,r和b为10，28，8/3时系统表现出混沌行为。Lorenz首先描述了非线性耗散系统的初始条件敏感性即所谓的“蝴蝶效应”。蝴蝶振动几下翅膀，可能引起数月后大洋彼岸的一场风暴，所以长期天气预报是不可能的。科技中说一个非线性系统是混沌的，最重要也最基本的含义就是初始条件敏感性。下面图片1，是从初始距离仅为1e-8的两条数字计算轨道间的距离随时间变化的曲线。有蓝色和绿色两条曲线，对应两种不同的数字积分方法。在开始一段时间内，两线重合，蓝线被绿线掩盖而看不见。t=10以后，两条曲线不再重合，说明数字积分方法和编程实现中的误差累积导致的轨道分离。所以传统的精确轨道概念不适用,系统和数字解是不稳定的。不同初始条件，不同算法和编程细节，都可以使计算轨道是不可重复的，系统的长期行为是不可预测的。实际的有限精度轨道类似于随机过程的一次物理实现。
吸引子是状态空间中的一个子集，从其中任意点出发的系统轨迹都全包括在其中。混沌吸引子中的轨道具有遍历性，时间足够长的话，任一轨道都可以以任意给定的有限精度接近吸引子中任一点，吸引子是不可分的，系统不能分割为更小的相互独立的子系统。这类似于平稳随机过程的各态历经性。各态历经的平稳随机过程的统计特性，可以用有限物理实现来估计。系统的混沌行为特征以及混沌吸引子作为一个几何对象，都可以用任意轨道数据来研究。嵌入定理更进一步表明，可以用一个状态变量或一个观测的时间序列（级数）嵌入状态空间，来分析系统和吸引子的内在特性。系统方程是确定性的，吸引子也是确定的。在吸引子中，从整体上，系统是稳定的。吸引子具有精致结构，表现出一种高级的系统秩序和不变性。
图片2，是从不同初始点（-16.45,-21.19,33.71）和（12.58,17.53,26.36）开始的两条轨道填充的吸引子在三维（3D）空间中的图像。时间区间为[0，205]。所用的两种数值积分程序与生成图片1的程序相同。图片3，是相应的状态变量的功率谱和自相关函数。(x,y,z)对应的初始条件是（-16.45,-21.19,33.71），自相关函数第一次越过1/e点的时间约为（0.29，0.22，0.15）；(x1,y1,z1）对应的初始条件是(12.58, 17.53, 26.36），自相关函数第一次越过1/e点的时间约为（0.28，0.21，0.15）。初始点相距很远，距离约为49，但图片2和图片3表明，吸引子图像，功率谱和自相关函数都几乎相同，对初始条件是不敏感的，与图片1所示的初始条件敏感性形成宣明对比。
图片4，是（x(t),x(t+d)）与（z(t),z(t+d)）的2D图像。时间t区间为[50,200]。d取0.15或0.3。所以其中共有四副重建相图。
以0.15或0.23为嵌入3D状态空间的延时，采用上述两种极端不同的初始条件，用不同的数值积分计算方法，包括定步长4阶龙格库塔法，欧拉法和变步长4阶龙格库塔法以及Scilab自带的ode函数（使用其缺省设置），居士计算了33组数据，估计的相关维均值为2.037，标准差为0.049。没有发现初始条件不同和算法误差导致大的相关维标准差。试算了一组数据的1D,2D和4D嵌入，估计的相关维分别是0.9968，1.8746，1.9965，可见3D嵌入是最佳选择。
图片1，初始条件与算法误差敏感性：
图片2，极端不同初始条件，不同数值积分方法，但相同吸引子：
图片3，极端不同初始条件，不同数值积分方法，但相同功率谱和自相关函数：
图片4，不同延时的重建2D相图：
（2）几幅生物进化分叉树图
爬行类的演化树示意图
动物进化树
生物进化树