一、 不定方程的原理

　　一些含字母变量的等式，有一元方程，也有二元或多元方程，如方程ax+b=0，ax2+bx+c=0，可视为关于未知数x的方程.由于参数a，b，c的值未知，或者说没有给定，参数a，b，c不同时可形成不同方程. 因此，将方程不确定，方程的解也不确定的方程称为不定方程. 不定方程通常由一些等量关系式产生.

　　 二、 不定方程的解

　　由于不定方程系数的未知性，所以不定方程的解的情况有多种可能.以ax+b=0，ax2+bx+c=0，ax2+by+c=0为例进行说明.

　　（1） ax+b=0的解可能有下列几种情况：①a≠0时，方程有唯一解x=-；②a=0，b≠0时，方程无解；③a=0，b=0时，方程有无数解，此时x∈R.

　　（2） ax2+bx+c=0.①a≠0时，Δ=b2-4ac＞0时，有两个不等实数根，Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，Δ=b2-4ac＜0时，方程没有实数根；②a=0时，情况与①相同，特别当a=b=c=0时，方程有无数个解.

　　（3） ax+by+c=0在给定a，b，c（a或b不为0）具体的值后，方程的解为对应直线上点的横坐标与纵坐标的值组成的实数对.当a=b=c=0时，方程有无数组解，为任意x∈R，y∈R组成的实数解.

　　三、 不定方程的应用

　　在实际问题中，常常利用不定方程有无数组解的充要条件，如等式ax+b=0恒成立的充要条件为a=0，b=0，又如ax2+bx+c=0有无数解的充要条件为a=b=c=0.

　　1. 求字母变量（待定系数）的值

　　例1 若方程（m-2）x+3+n=0有无数解，则m，n的值是多少？

　　解 因为（m-2）x+3+n=0有无数解，所以m-2=0，3+n=0，所以m=2，n=-3.

　　例2 已知f （x）为奇函数，且f （x）=lga+，求实数a的值.

　　分析 利用奇函数性质建立等量关系，化简为不定方程加以求解.

　　解 f （x）为奇函数，所以f （-x）=-f （x），所以lga+=-lga+，即lga+=lga+-1，a+=a+-1=，所以=，故（a+2）2-（ax）2=1-x2，即（1-a2）x2+（a+2）2-1=0.（*）

　　由于未知数x可取多个值，所以方程（*）有无数解，故1-a2=0，（a+2）2-1=0，解得a=-1.

　　注 类似于本题的利用函数奇偶性求字母变量的问题，通常化为不定方程加以解决.在使用不定方程的过程中，将未知系数和常数项都转化为以字母变量为未知数的方程或方程组，从而求解字母变量的值.

　　2. 求定值

　　例3 数列{an}，{an+1}为等比数列，试确定数列{an}的公比.

　　解 设{an}的首项为a1，公比为q，则=q①，设{an+1}的首项为a1+1，公比为q0，则=q0②.

　　若{an}为常数列，则an的值为定值，公比q=1，此时数列{an+1}也为常数列，q0=1.

　　若{an}不为常数列，则公比q≠1，由①有an+1=qan，代入②式有==q0，从而有qan+1=q0（an+1），即（q-q0）an+1-q0=0.将an视为未知量，由于公比q≠1，所以an至少可取两个值，即方程（q-q0）an+1-q0=0为不定方程，所以q-q0=0，1-q0=0，即q=q0=1，这与假设q≠1矛盾.

　　综上所述，q=1.

　　注 本题可推广到一般情形，数列{an}，{an+a}（a≠0）为等比数列，则{an}为常数列，公比q=1.

　　３. 求定点

　　例4 已知椭圆+=1的右焦点为F，右准线为l，且直线y=x与l相交于点A.

　　（1） 若圆C经过O，F，A三点，求圆C的方程；

　　（2） 当m变化时，求证：圆C经过除原点O外的另一个定点B.

　　解 （1）因为a2=m2+m，b2=m，所以c2=a2-b2=m2，c=m，所以F（m，0），l：x==1+m，所以A（1+m，1+m）.

　　设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将O，F，A三点坐标代入，得F=0，m2+Dm=0，2+2m+D+E=0，解得F=0，D=-m，E=-2-m.

　　所以圆C的方程为x2+y2-mx-（2+m）y=0.

　　（2） 设点B坐标为（p，q），则p2+q2-mp-（2+m）q=0，整理得（p+q）m+2q-p2-q2=0，对任意实数m都成立.

　　该式可视为关于m的不定方程，p+q为系数，2q-p2-q2为常数项.

　　所以p+q=0，2q-p2-q2=0，解得p=0，q=0或p=-1，q=1.

　　所以当m变化时，圆C经过除原点外的另外一个定点B（-1，1）.

　　注 本题第二问中使用代点法得到不定方程. 注意这类题的一般处理方法.

　　例5 已知圆的方程为x2+y2=4，P为其上任意一点，点A（-3，0），是否存在一定点B，使为定值？

　　分析 本题可设出参量（点B的横坐标a与纵坐标b以及比值k），由=k结合两点间距离公式形成不定方程，进而建立参数的方程与方程组，求出参数.

　　解 假设存在点B（a，b），使得=k（k为非零常数）.

　　设P（x，y）为圆x2+y2=4上任意一点，由题意得PA=，PB=，则==k，两边同时平方得x2+y2+6x+9=k2（x2+y2-2ax-2by+a2+b2）.

　　又x2+y2=4，所以（2k2a+6）x+2k2by-k2（a2+b2+4）+13=0.因为（x，y）在圆上，故该方程有无数组解，从而2k2a+6=0，2k2b=0，-k2（a2+b2+4）+13=0，解得a=-，b=0，k2=，或a=-3，b=0，k2=1（舍去）.所以存在满足条件的点B-，0.

　　注 本题实际上为阿波罗尼斯圆的形成过程，到两个定点距离比为定值的点的轨迹为圆.

　　1. 已知直线mx+（m-1）y+2m+2=0，则该直线恒过点______.

　　2. 已知曲线x2+y2+2mx+（3-m）y+2m-2=0，求该曲线恒经过的两个定点.

　　3. 已知一次函数f （x）满足f （x-1）+f （x+1）=2x+1，求f （x）解析式.

　　1. （-4，2）. 2. （-2，-2），-，. 3.f （x）=

　　x+.

　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文